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[數學,M1&M2] The exact value of pi



The exact value of pi

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How come can we obtain this?
A Good Analyzer Must Be A Good Collector.

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只係反正切函數H泰勒級數延展式 (Taylor series expansion of arctangent) :
(*)  arctan(x)  =  x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ... for |x| < 1

假設實數   x   in (0, 1) 同埋 y = arctan(x) ,就有 x = tan(y) 。兩邊對 y 姥冱 (take derivative with respect to y) 即得:
  dx/dy  =  sec(y)^2  =  1 + tan(y)^2  =  1 + x^2
  dx / (1 + x^2)  =  dy
  int dx / (1 + x^2)  =  int dy  =  y
將 x H值固定,上式變成:
  y   =   arctan(x)  =  int_{0 to x} dt / (1 + t^2)
因為嚮 t in [0, x] 之上 |- t^2| < 1 ,所以 1/(1 - (- t^2)) 絶對收斂 (converges absolutely) 並且
  y  =  int_{0 to x} dt * (1/ (1 - (- t^2))
     =  int_{0 to x} dt * sum_{k = 0 to ∞} ( - t^2 )^k
     =  int_{0 to x} dt * sum_{k = 0 to ∞} ( (-1)^k t^(2k)
     =  [ sum_{k = 0 to ∞} (-1/)^k t^(2k+1)/(2k+1) ]_{0 to x}
     =  [ sum_{k = 0 to ∞} (-1)^k x^(2k+1) / (2k+1) ] - 0
當 x 由下逼近 1 時,左手邊逼近 y  → arctan(1) = π/4 ,而右手邊逼近 sum_{k = 0 to ∞} (-1)^k / (2k+1) 。咁就有
  pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

附帶一提,當   x   in (-1,  0) 時,可循類似步驟完成 (*) 式H證明。當   x=0  時結果明顯。

[ 本帖最後由 填不盡 於 2017-11-6 10:35 AM 編輯 ]






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Then how about this?





A Good Analyzer Must Be A Good Collector.

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哈哈,呢條公式咁出名,你連條問題都揾到,點會揾唔到證明?標準答案只需要對 int_{0 to pi/2} (sin x)^n dx 咫應▼n分 (integration by parts) 就搞掂。你自己畀心機啦。





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回覆 4#  填不盡 的帖子

https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product

Well...the proof is really CE level stuff...

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引用:
原帖由 doraemonserv 於 2017-11-10 01:58 發表
Well...the proof is really CE level stuff...


知答案你又問?

而且講咗個答案畀你聽你先話淺……即使而家叫你唔睇資料、即刻用自己語言寫一次個證明出嚟,你一樣做唔到,因為你根本乜都明過。


[ 本帖最後由 填不盡 於 2017-11-10 08:48 AM 編輯 ]






思福亦思禍,鬥智不鬥氣

民主係按民意移交權力H制度。冇咁做到但又扮有,就係「假民主」。

規定所有政黨都要由中國共產黨領導、所有人民代表都要「聽黨指揮」,就係「一黨專政」。

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回覆 6#  填不盡 的帖子

I am a pattern learner...






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引用:
原帖由 doraemonserv 於 2017-11-10 22:21 發表
I am a pattern learner...


世界上冇「pattern learner」同「non-pattern learner」之分㗎。想學嘢,唯一方法就係揣摩規律。分別只在於揾到規律之後你會點做。

你H問題係:你根本冇學習能力,亦唔係真係咁鍾意數學,否則你就會肯去試新嘢,亦會將自己H答案同人分享。

但你成日嚮習題之間打轉,但又為自己H思考設立禁區。一過咗某個位,你就停止思考,寧願問人奏狙蛂C為問而問、故步自封,都唔知你做乜……


[ 本帖最後由 填不盡 於 2017-11-10 11:42 PM 編輯 ]




思福亦思禍,鬥智不鬥氣

民主係按民意移交權力H制度。冇咁做到但又扮有,就係「假民主」。

規定所有政黨都要由中國共產黨領導、所有人民代表都要「聽黨指揮」,就係「一黨專政」。

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